Kombinatoryka. Rozszerzony program matematyki w liceum

Ze wstępu Autora:

Kombinatoryka to czwarta książka z cyklu "Rozszerzony program matematyki w liceum". W serii ukazały się dotąd: Arytmetyka i algebra, Geometria z trygonometrią i Geometria analityczna.

Przeznaczona jest ona przede wszystkim dla nauczycieli matematyki, którzy chcą wzbogacić swoje metody nauczania, na lekcjach lub na zajęciach dodatkowych.

W tej książce chciałem przekonać Czytelników, że kombinatoryka ma swój urok — rozumowania kombinatoryczne są ładne, a dowody kombinatoryczne są zupełnie inne niż rutyna szkolna. Istotnym aspektem rozszerzenia programu nauczania jest rozwiązywanie zadań olimpijskich. [...] Książka zawiera bardzo wiele zadań olimpijskich i oczywiście jest przeznaczona również dla uczniów przygotowujących się do Olimpiady Matematycznej.

W tej książce zajmę się nie tylko podstawowymi (z punktu widzenia potrzeb szkolnych) zagadnieniami kombinatorycznymi, jakimi są zadania zliczania elementów zbiorów skończonych, ale także własnościami obiektów kombinatorycznych. Wiele tych problemów pojawia się w zadaniach olimpijskich, kombinatoryka znajduje także liczne zastosowania w informatyce. Ważną dziedziną matematyki, uważaną za część kombinatoryki, jest teoria grafów.

Kombinatoryka, która pojawiła się w polskim programie szkolnym w końcu lat 60-tych XX wieku ograniczała się do czterech typów zadań związanych z czterema podstawowymi sposobami losowania wielu obiektów w rachunku prawdopodobieństwa. Wiele zadań dotyczących prawdopodobieństwa można sformułować jako zadania dotyczące losowania kul z urny. Pomijając bardzo proste zadania dotyczące losowania jednej kuli z urny zawierającej n kul, w tym m kul „wygrywających”, mamy do czynienia z zadaniami polegającymi na losowaniu w różny sposób wielu kul. Wyróżniamy następujące sposoby losowania ze zbioru skończonego (i odpowiadające im obiekty kombinatoryczne): losowanie kolejno n kul „ze zwracaniem” (ciągi skończone), losowanie kolejno n kul „bez zwracania” (skończone ciągi różnowartościowe), losowanie kolejno kul „bez zwracania” do wyczerpania wszystkich elementów pewnego zbioru skończonego (permutacje), losowanie jednoczesne m kul (podzbiory).

Rachunek prawdopodobieństwa oraz kombinatoryka wykształciły swoją terminologię. Podzbiory zbioru zdarzeń elementarnych Ω nazywaliśmy zdarzeniami, w kombinatoryce zamiast mówić o ciągach skończonych mówiliśmy o wariacjach, zamiast o podzbiorach mówiliśmy o kombinacjach. Nacisk położony na identyfikację właściwego dla danego zadania obiektu kombinatorycznego i skorzystanie z odpowiedniego wzoru wyrażającego liczbę zliczanych obiektów powodował, że uczniowie nie dostrzegali podstawowych reguł, na których opiera się rozumowanie kombinatoryczne. Była to, jak się wydaje, jedna z przyczyn trudności, jakie kombinatoryka sprawiała uczniom; trudności, o których nauczyciele matematyki wielokrotnie mi mówili.

Książka, którą oddaję w ręce Czytelników, składa się z dwóch części. Część pierwsza jest poświęcona kombinatoryce szkolnej. Omawiam w niej dokładnie, w jaki sposób uczyłem kombinatoryki w szkole.